Родился в 1944 году. В 1970 году окончил Ленинградскую консерваторию им. Н.А.Римского-Корсакова. В 1968-1993 гг - дирижер Малого театра оперы и балета (ныне Михайловский театр), где в его репертуаре было более 80-ти спектаклей. С труппой театра гастролировал в Австрии, Германии, Италии, Ливане, Франции, Японии.
Музыкальный руководитель первой в России постановки оперы Дж. К. Менотти «Медиум» (1979). Осуществил постановки в Тбилисском Театре оперы и балета им. 3. Палиашвили «Трубадура» Дж.Верди и «Бориса Годунова» М. Мусоргского.
В 1987 году совместно с режиссером А. Петровым создал Санкт-Петербургский государственный детский музыкальный театр «Зазеркалье», где по настоящее время является главным дирижером. Поставил в «Зазеркалье» около 40 спектаклей. Помимо произведений для детей им поставлены оперы современных петербургских авторов: Л. Десятникова, Г. Банщикова, С. Баневича, О. Петровой, И. Рогалева, а также: «Иоланта» и «Детский альбом» П. Чайковского, «Пастушка и трубочист» и «Рождественская мистерия» на музыку И.С. Баха, «Волшебная флейта» В.А. Моцарта, «Любовный напиток» Г. Доницетти, «Золушка» Дж. Россини, «Сказки Гофмана» Ж. Оффенбаха, «Богема» Дж. Пуччини., «Летучая мышь» И. Штрауса, «История солдата» И. Стравинского, «Ноев ковчег» Б. Бриттена, «Порги и Бесс» Дж Гершвина.
С 2004 года П. Бубельников является приглашенным дирижером Мариинского театра, где участвовал в постановке оперы Дж. Пуччини «Мадам Баттерфляй». Дирижирует оперными спектаклями: «Евгений Онегин», «Пиковая дама», «Царская невеста», «Сказка о царе Салтане». «Травиата», «Риголетто», «Набукко» и балетными: «Лебединое озеро», «Спящая красавица», «Щелкунчик», «Дон Кихот», «Ромео и Джульетта», «Ленинградская симфония», «Барышня и хулиган», «Симфония до мажор», «Шинель», «Пробуждение Флоры». С балетной труппой Мариинского театра гастролировал в США, Англии, Канаде, Японии и на Сицилии.
Выступает с ведущими оркестрами Петербурга с разнообразными классическими и современными программами.
П. Бубельников - дважды лауреат премии Правительства Санкт-Петербурга в области литературы, искусства и архитектуры (1996 г., 2005 г.), неоднократно становился лауреатом премии «Золотой софит» и номинантом Национальной театральной премии «Золотая маска».